B2.2 Comprendre et se rappeler des pourcentages, des fractions et des nombres décimaux équivalents couramment utilisés.
Habileté : comprendre et se rappeler les pourcentages, les fractions et les nombres décimaux équivalents couramment utilisés
On sait qu’un nombre décimal représente une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (par
exemple,
Exemple
Image Nombres disposés en forme de triangle. En haut, 15 pourcent, en bas à gauche, zéro virgule 15, et en bas à droite, 15 sur cent. Ils sont tous reliés entre eux par des flèches à double sens.Pour aider les élèves à développer cette habileté, il faut régulièrement les inviter à exprimer leurs réponses en
utilisant une autre notation. Par exemple, le personnel enseignant peut inciter l’élève qui a répondu que
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 50-51.
Repères
Les représentations mentales utilisées par les élèves sont renforcées par l’utilisation de repères. De façon générale, un repère est un élément de référence. Les repères utilisés pour l’étude des nombres décimaux et des pourcentages ressemblent à ceux employés pour l’étude des fractions. En créant des liens entre les nombres décimaux, les pourcentages et les repères fractionnaires, les élèves approfondissent leur sens du nombre.
Le tableau ci-après présente quelques repères qui devraient faire partie du bagage des élèves. Tout pourcentage peut être créé à l’aide des pourcentages repères.
Repères pour les fractions, les pourcentages et les nombres décimaux
Fraction | Pourcentage | Nombre décimal | Exemple de représentation mentale |
---|---|---|---|
1 % | 0,01 | ||
5 % | 0,05 | ||
10 % | 0,1 | ||
15 % | 0,15 | ||
25 % | 0,25 | ||
50 % | 0,5
|
Ces repères, ainsi que les liens entre les fractions, les pourcentages et les nombres décimaux favorisent
l’approfondissement du sens du nombre et s’avèrent fort utiles en situation de résolution de problèmes. L’habileté à
passer d’une notation à une autre est avantageuse, car elle permet d’utiliser celle qui répond le mieux aux besoins du
moment. Par exemple, un client qui veut calculer un rabais de 50 % sur le prix d’un article peut aisément le
faire s’il reconnaît que 50 % équivalent à la moitié (
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 38-40.
Calculer 1 % (
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario
Je visualise un déplacement d’une colonne vers la droite dans le tableau de valeur de position.
Image Voici un tableau dont chaque colonne présente deux cases. Les colonnes vont comme suit : milliers, centaines, dizaines, unités, dixièmes, centièmes. Dans la première case des dizaines, il y a le chiffre deux, relié par une flèche à la deuxième case des unités laquelle contient aussi le chiffre deux. Dans la première case des unités, il y a le chiffre trois, relié par une flèche à la deuxième case des dixièmes laquelle contient aussi le chiffre trois. Toutes les autres cases sont vides. Au-dessus de la colonne unités, il est écrit fois zéro virgule un.
Je visualise un déplacement de 2 colonnes vers la droite dans le tableau de valeur de position.
Image Voici un tableau dont chaque colonne présente deux cases. Les colonnes vont comme suit : milliers, centaines, dizaines, unités, dixièmes, centièmes. Dans la première case des dizaines, il y a le chiffre deux, relié par une flèche à la deuxième case des dixièmes, qui est vide. Dans la première case des unités, il y a le chiffre trois, relié par une flèche à la deuxième case des centièmes, qui est vide. Dans la deuxième case des unités, il y a un zéro avec une virgule. Toutes les autres cases sont vides. Au-dessus du tableau, entre unités et dixièmes, il est écrit fois zéro virgule zéro un.Les élèves croient souvent, à tort, qu’un pourcentage ne peut dépasser 100 (100 %). Or, certaines situations de la vie courante mènent à des pourcentages supérieurs à 100 %. Pour bien comprendre, ces situations peuvent être explorées au moyen de représentations concrètes ou semi-concrètes où les quantités sont mises en relation avec le tout. On peut aussi utiliser la notation fractionnaire ou décimale.
Exemple 1
À la suite d’une augmentation de 25 %, on peut affirmer que la nouvelle quantité représente 125 % de la quantité initiale.
Image Quatre grilles de cent unités sont présentées côte à côte. La première grille possède 100 unités rouges. Au-dessus, il est écrit : Quantité initiale, le tout. Entre la première et la deuxième grille, il y a un symbole plus. La deuxième grille possède 25 unités rouges et 75 unités blanches. Au-dessus, il est écrit : 25 pourcent de la quantité initiale. Elle se lie à la troisième grille par une flèche. La troisième grille est identique à la première, et la quatrième grille est identique à la deuxième. Au-dessus des deux dernières grilles, il est écrit : 125 pourcent de la quantité initiale.Ainsi, la nouvelle quantité représente
Exemple 2
Lors d’une collecte de fonds, les élèves de l’école L’Envolée se sont fixé un objectif de 2 000 $. À la fin de la collecte, elles et ils ont amassé 4 000 $. Quel pourcentage de leur objectif a été amassé?
Puisque 100 % de la quantité équivaut à la quantité totale, soit 2 000 $, alors 200 % sont le double de cette quantité, soit 4 000 $.
Connaissance : nombre décimal
Un nombre décimal est un nombre qui peut être exprimé en notation décimale avec une partie décimale finie.
Exemple
L’ensemble des nombres décimaux inclut tous les entiers, car ces derniers peuvent être exprimés avec une partie décimale.
Exemple
Il inclut aussi certaines fractions, comme
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 28.
Connaissance : fraction
Le mot fraction vient du latin fractio qui veut dire « rupture ». Une partie d’un objet
brisé peut donc représenter une fraction, car c’est une partie d’un tout. Toutefois, pour déterminer une fraction d’un
objet divisé en plusieurs parties, il faut que les parties soient équivalentes. Précisons que lorsqu’il est question
de parties équivalentes, il ne s’agit pas nécessairement de formes identiques, bien que celles-ci soient plus faciles
à utiliser. Les représentations de 1 quart (
Exemple
6 représentations équivalentes de 1 quart (
Il est important pour les élèves de comprendre que plus le tout est fractionné, plus ses parties sont petites
Exemple
Les quarts d’un tout sont plus gros que les dixièmes du même tout.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 33.
Connaissance : pourcentage
Le pourcentage est une façon particulière de présenter une fraction. Il est souvent employé dans la vie courante. Une
expression numérique comme 30 % (qui se lit « 30 pour cent ») est en réalité une autre notation du
nombre 30 centièmes, soit
Exemple
Les élèves doivent aussi réaliser qu’un pourcentage représente un rapport à 100 (par exemple, 30 % représentent le rapport 30 : 100). Il est important de souligner qu’un résultat exprimé en pourcentage ne signifie pas que la quantité en question est nécessairement composée de 100 parties, comme expliqué dans le tableau suivant.
Représentation | Pourcentage | Notes pédagogiques |
---|---|---|
|
75 % des cercles sont verts. | Même si 75 % des cercles sont verts, cela ne veut pas dire qu’il y a 100 cercles dans l’ensemble.
Cependant, s’il y avait 100 cercles, il y aurait 75 cercles verts. De plus, la fraction des cercles
qui sont verts est équivalente à |
Image Un rectangle de 50 mètres par 80 mètres est découpé en deux parties égales sur la
largeur : une partie verte et une partie blanche. Ces deux dernières mesurent respectivement 2 000 mètres
carrés ainsi que 50 mètres par 40 mètres.
|
50 % du terrain est recouvert de pelouse. | Même si 50 % du terrain est recouvert de pelouse, on ne peut pas affirmer que le terrain a une aire de
100 m2. Mais on peut affirmer que pour chaque 100 m2 de terrain,
50 m2 sont recouverts de pelouse. Ainsi,
|
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 34-35.