C2.3 Résoudre des équations qui comprennent des termes multiples, des nombres naturels et des nombres décimaux, dans divers contextes, et vérifier les solutions.

Habileté : résoudre des équations qui comprennent des termes multiples, des nombres naturels et des nombres décimaux, dans divers contextes


Dans Mettre l’accent sur le raisonnement algébrique M-12 (ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2013), il est expliqué que « […] de nombreux élèves ne reconnaissent pas que le signe égal indique une égalité » (p. 6), voire une équivalence entre deux expressions numériques. La « […] plupart des élèves ont interprété le symbole égal comme étant synonyme d’effectuer un calcul et [d’] inscrire la réponse après le symbole égal » (p. 6).

Cette idée relève d’une association faite avec l’arithmétique où souvent il est demandé à l’apprenante ou à l’apprenant d’évaluer des équations ayant la forme : a [signe d’opération] b = ?. De plus, l’utilisation de la calculatrice renforce cette idée, puisque la réponse est affichée lorsque l’élève appuie sur la touche « = ». Il est donc nécessaire de présenter aux élèves des situations arithmétiques qui leur demandent de vérifier si des égalités sont vraies ou fausses (par exemple, 14 + 3 = 16 + 1), ainsi que des égalités ayant des formes inhabituelles (17 = 3 + 14). Pour faciliter le passage du raisonnement arithmétique au raisonnement algébrique, les élèves doivent développer certaines habiletés relatives aux relations entre des quantités.

Habileté à reconnaître une situation d’égalité

« Reconnaître une situation d’égalité, c’est identifier que deux quantités ont la même valeur » (ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2008 a, p. 75). L’utilisation de matériel concret et semi-concret pour représenter une égalité facilite le transfert aux égalités représentées à l’aide de symboles. Si les élèves sont habiles à utiliser des dispositions rectangulaires, alors reconnaître une situation d’égalité et la démontrer à l’aide d’expressions algébriques devient plus concret pour elles et eux.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 7e à la 10e année, p. 26-27.

Habileté à maintenir une situation d’égalité

Maintenir une situation d’égalité, c’est opérer sur les quantités pour s’assurer de préserver l’égalité. En explorant diverses situations, les élèves constatent que, lorsqu’une quantité est ajoutée à un membre d’une égalité ou retirée de celui-ci, la même action doit s’effectuer sur l’autre membre de l’égalité. La balance à plateaux permet de visualiser ces actions.

Exemple

image Une balance de différentes tailles de perles. Première échelle : 2 grosses perles et 6 petites perles sur le côté gauche. 3 grosses perles et 2 petites perles sur le côté droit. 2 "x" plus 6 moins, 3 "x", plus 2. Balance 2 : 2 grosses perles sont enlevées du côté droit et du côté gauche de la balance. J'enlève 2 grosses billes de chaque côté de la balance, j'obtiens 6 égal "x" plus 2. Échelle 3 : 2 petites billes sont retirées du côté droit et du côté gauche de la balance.

Sans la représentation de la balance à plateaux, il est possible de résoudre l’équation de façon algébrique :

2x+6=3x+2
2x+62x=3x+22x J’enlève 2x de chaque côté du signe égal.
62=x+22 J’enlève 2 de chaque côté du signe égal.
4=x Je détermine la valeur de x.

Comprendre le processus du maintien d’une situation d’égalité est une habileté très importante qui permet aux élèves de résoudre des équations à tous les cycles. Pour résoudre une équation, il faut regrouper les variables d’un côté et les nombres de l’autre, tout en maintenant l’équilibre entre le membre de gauche et le membre de droite.

Exemple

4(x5)+2x=3x+7
4x20+2x=3x+7 J’utilise la propriété de distributivité.
4x+2x20+20=3x+7+206x=3x+276x3x=3x3x+273x=27 Je regroupe les variables d’un côté et les nombres de l’autre, tout en maintenant l’équilibre entre le membre de gauche et le membre de droite.
3x3=273 Je divise chaque côté par 3.
x=9 Je détermine la valeur de x.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 7e à la 10e année, p. 30-31.

Résolution d’équations par inspection et à l’aide du modèle de la balance

Ouvrir description de la video Description de la vidéo

[musique entraînante]

[Vidéodescription]

Voici une capsule d'Eurêka, ton service d'appui à l'apprentissage, un service du Centre franco.

[Formateur]

La résolution d'équations.

[Vidéodescription]

Un garçon au teint basané réfléchit. Dans un phylactère de pensée, il est écrit : « x + 18 = 51 ». L'équation se transforme et devient « x = point d'interrogation ». Ensuite, le phylactère disparait, et trois générations de personnes au teint basané, une dame âgée, une femme adulte et une enfant, se placent à côté du garçon.

[Formateur]

L'équation est une relation d'égalité qui comporte une ou plusieurs variables. On utilise l'équation pour résoudre un problème quantitatif. Pour ce faire, on détermine d'abord la ou les valeurs inconnues et on traduit l'énoncé écrit en équation.

[Vidéodescription]

Le garçon émet à nouveau un phylactère de pensée, dans lequel se trouve un point d'interrogation qui clignote. Ensuite, le garçon disparait et le trio générationnel migre au centre de l'écran.

[Formateur]

On résout ensuite l'équation pour trouver la solution. Soit le problème suivant : si l'âge de grand-maman, 70 ans, est égal à celui de maman, 35 ans, plus 5 fois l'âge de Yasmine, alors quel est l'âge de Yasmine ? Pour résoudre ce problème,on le représente par l'équation 70 = 35 + 5a. Résoudre cette équation revient trouver la valeur de a, c'est-à-dire l'âge de Yasmine, pour que l'égalité soit vraie.

[Vidéodescription]

70 = 35 + 5a.

[Formateur]

Une première approche est la résolution d'équations par inspection. Dans cette approche, on compare les termes des deux membres de l'équation. Pour y arriver, on décompose 70 de façon à avoir des termes semblables à ceux de l'autre côté.

[Vidéodescription]

35 + 35 = 35 + 5a.

[Formateur]

On compare ensuite les termes des deux membres de l'équation et on décompose 35 en 5 groupes de 7.

[Vidéodescription]

35 + 5 X 7 = 35 + 5a. On simplifie l'équation en raturant les 35, les plus et les 5 de chaque côté, ce qui donne 7 = a.

[Formateur]

On peut donc déduire que a = 7. Une autre méthode est celle de la balance algébrique. L'objectif est d'isoler la variable dans un des membres de l'équation en utilisant les propriétés de l'égalité.

[Vidéodescription]

Du côté gauche de la balance, il y a 7 cubes d'une valeur de 10. Du côté droit de la balance, il y a 3 cubes d'une valeur de 10, 1 cube d'une valeur de 5 et 5 cubes d'une valeur de a. Sous la balance, il est écrit : « 70 = 35 + 5a ».

[Formateur]

On enlève d'abord 35 de chaque côté de la balance. Ensuite, on divise chaque membre par 5. On voit donc que a = 7. Pour vérifier notre solution, on remplace a par 7 dans l'équation initiale, donc 70 = 35 + 5 x 7. Puisque 70 = 35 + 35, l'égalité est vraie.

[Vidéodescription]

La fillette du trio apparaît à côté de l'équation. Elle émet un phylactère qui dit : « Moi, j'ai 7 ans!».

[Formateur]

Utilisons la stratégie de la balance pour résoudre une autre équation, soit 15 - n/4 = 10. Ici, le coefficient de la variable n est une fraction négative, soit -1/4. Puisque la variable représente un nombre inconnu, alors toutes les propriétés des nombres s'appliquent à elle. On ajoute n/4 à chaque membre pour se débarrasser du signe négatif du coefficient.

[Vidéodescription]

15 - n sur 4 + n sur 4 = 10 + n sur 4. En simplifiant l'équation, cela donne 15 = 10 + n sur 4.

[Formateur]

On soustrait 10.

[Vidéodescription]

15 - 10 = n sur 4 ou 5 = n sur 4.

[Formateur]

On multiplie par 4.

[Vidéodescription]

5 X 4 = n sur 4 X 4. On simplifie l'équation en raturant les deux 4 à droite du signe égal.

[Formateur]

n est donc égal à 20. Pour vérifier notre solution, on remplace n par 20 dans l'équation.

[Vidéodescription]

15 - 20 sur 4 = 10. 15 - 5 = 10. 10 = 10.

[Formateur]

Oui, notre réponse est juste. Récapitulons.

[Vidéodescription]

Le garçon émet un phylactère de pensée qui contient l'équation « 10 = x + 8 ».

[Formateur]

Résoudre une équation revient à trouver la valeur de la variable pour que l'égalité demeure vraie.

[Vidéodescription]

L'équation migre au centre de l'écran. 8 + 4 = x + 8. On simplifie l'équation en raturant les deux 8. 4 = x.

[Formateur]

Pour résoudre l'équation, on peut procéder par inspection et comparer les membres de l'équation ou opter pour la méthode de la balance algébrique en isolant la variable et en utilisant les propriétés de l'égalité.

[Vidéodescription]

12 = x + 8, ou 12 - 8 = x + 8 - 8, ou 4 = x.

12 = x + 8 , ou 12 = 4 + 8, ou 12 = 12.

[Formateur]

Pour vérifier notre solution, on remplace la variable par sa valeur et on s'assure que l'égalité demeure vraie.

[Vidéodescription]

12 = x + 8 , ou 12 = 4 + 8, ou 12 = 12.

[Chanson]

C'est pour toi, Eurêka!

[Fin de la vidéodescription]

Résolution d’équations à l’aide d'un logigramme

Ouvrir description de la video Description de la vidéo

[musique entraînante]

[Vidéodescription]

Voici une capsule d'Eurêka, ton service d'appui à l'apprentissage, un service du Centre franco.

[Narrateur]

La résolution d'une équation du premier degré à l'aide d'un logigramme. En mathématiques, les logigrammes sont utilisés pour représenter la suite logique des opérations arithmétiques, soit additionner, soustraire, multiplier ou diviser d'une équation du premier degré, c'est-à-dire une égalité algébrique dont la puissance est équivalente à 1.

[Vidéodescription]

Le logigramme va comme suit : Entrée, flèche à droite, plus, flèche à droite, moins, flèche à droite, multiplié, flèche à droite, divisé, flèche à droite, sortie.

[Narrateur]

Représentons d'abord l'égalité 4 + 5 = 9 à l'aide d'un logigramme. 4 ajoute 5, ce qui donne 9. Puisque l'addition est l'inverse de la soustraction, il est possible d'inverser le logigramme en changeant l'opérateur. L'égalité demeure vraie. Dans ce cas, 9 soustrait 5, ce qui donne 4.

[Vidéodescription]

Le logigramme inversé va comme suit : 4, flèche à gauche, -5, flèche à gauche, 9.

[Narrateur]

Si l'égalité est une multiplication, soit 4 fois 4 fois 5 = 20, le logigramme est 4 multiplie par 5, ce qui donne 20. Puisque la multiplication est l'inverse de la division, il est possible d'inverser le logigramme en changeant l'opérateur. L'égalité demeure vraie. Dans ce cas, 20 divise par 5, ce qui donne 4.

[Vidéodescription]

Les flèches qui pointent à droite entre les éléments se changent en flèches qui pointent à gauche. Le signe de multiplication devient un signe de division.

[Narrateur]

Utilisons maintenant le logigramme pour résoudre une équation. Tu achètes un chandail. Tu donnes un billet de 100 $ au caissier qui te remet 66 $. Quel est le prix du chandail? Si p représente le prix du chandail, alors l'équation p + 66 = 100 représente le problème. Le logigramme est donc « prix du chandail, p, ajoute 66, ce qui donne 100 ».

Pour résoudre l'équation, il faut inverser le logigramme en changeant l'opérateur, soit 100, soustrait 66, ce qui donne 34. Le prix du chandail est donc de 34 $. Changeons maintenant le scénario. Tu décides d'acheter deux chapeaux identiques, soit un pour toi et un pour ton ami. Tu donnes un billet de 100 $ au caissier qui te remet 38 $. Quel est le prix d'un chapeau? Si a représente le prix d'un chapeau, alors l'équation 2a + 38 est = 100 représente le problème. Nous savons que 2a, c'est 2 fois a. Puisque la multiplication est commutative, 2 fois a est égal à « a fois 2 ».

[Vidéodescription]

a fois 2 + 38 = 100.

[Narrateur]

Le logigramme qui représente cette équation aura deux opérateurs : prix du chapeau, a, multiplie par 2, puis ajoute 38, ce qui donne 100. Pour résoudre l'équation, il faut inverser le logigramme sans oublier de changer tous les opérateurs. 100 soustrait 38, ce qui donne 62, puis divise par 2, ce qui donne 31. Un chapeau coûte donc 31 $. Récapitulons avec l'équation n divise par 4 + 6 = 10. Il est possible de représenter l'équation à l'aide d'un logigramme. n divise par 4, puis ajoute 6, ce qui donne 10. Pour résoudre l'équation, il faut inverser le logigramme et ses opérateurs. 10 soustrait 6, ce qui donne 4, puis multiplie par 4, ce qui donne 16. La variable n est donc égale à 16.

[Chanson]

C'est pour toi, Eurêka!

[Fin de la vidéodescription]

Habileté : vérifier les solutions à la suite de la résolution d’équations


Une fois que l’élève a résolu une équation, prendre l’habitude de vérifier sa solution en insérant cette valeur dans l’équation initiale est une excellente pratique à adopter. L’élève doit tout simplement substituer la variable par cette valeur dans le membre de gauche (à gauche du signe d’égalité) et dans le membre de droite (à droite du signe d’égalité), puis déterminer si la même réponse est obtenue de chaque côté.

Connaissance : équation


Relation d’égalité qui comporte une ou plusieurs variables.

image 3 équations équivalentes : -Diamant, plus, trois, égale, 8 -Un, plus, carreau, plus carreau, égale, 11 -3, multiplié, pique, équivaut à, quatre, multiplié, triangle pointant par le bas, multiplié par carré. J'enlève 2 petites billes de chaque côté de la balance, j'obtiens 4 égal "x".

Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.